2009
Intercolegial
PRIMER
NIVEL
1. Hallar todos los números de dos cifras ab
tales que
.
ACLARACIÓN: ab representa al número que
tiene a en las decenas y b en las unidades; ba representa
al número que tiene b en las decenas y a en las unidades.
2. La suma de las edades de Juan y de su madre supera
en 2 años a la edad del padre. Dentro de 4 años, la edad de la madre será igual
al triple de la edad de Juan, y la suma de las edades de los tres (padre, madre
y Juan) será igual a 74. Determinar las edades actuales de los tres personajes.
3. En la figura se muestra un hexágono formado por 24
triángulos equiláteros de lado 1.
El área sombreada está formada por 3 triángulos equiláteros de distintos
tamaños.
Si S es el área sombreada y B es el área blanca del hexágono,
calcular
.
SEGUNDO
NIVEL
. Hallar los dígitos X, Y, Z,
con X > Y > Z tales que la siguiente resta entre
números de tres cifras sea correcta.
2. Si la escalera mecánica está
detenida, Sofía la sube en 30 segundos. Si la escalera mecánica está
funcionando, una persona que no se mueve la sube en 60 segundos.
Determinar cuánto tarda Sofía en subir si la escalera funciona pero ella además
camina.
3. Sea ABCD un cuadrado de lados AB = BC
= CD = DA = 16, y P un punto en el lado BC. La
recta perpendicular a AP trazada por A corta a la prolongación
del lado
CD en Q. Si AP = 20, calcular DQ.
TERCER
NIVEL
1. Calcular la suma de los dígitos del número
.
2. Se tiene un cubo de arista n, con n un entero
desconocido, pintado de azul. Se divide el cubo en n 3 cubitos de arista 1. La
cantidad de cubitos que no tienen ninguna cara pintada es igual a 27 veces la
cantidad de cubitos que tienen exactamente 2 caras pintadas. Hallar n.
3. Sea ABCD un rombo y P, Q, R, S puntos en los
lados AB, BC, CD, DA, respectivamente, tales que PQRS es un cuadrado de lado 2.
Si
, calcular el lado del rombo ABCD.
Zonal
PRIMER
NIVEL
1. Fernando sumó cinco números naturales consecutivos
y el resultado que obtuvo es un número de cinco cifras con el dígito de las
unidades igual al de las unidades de mil 1x84x, donde x
representa un dígito. Determinar los cinco números que sumó Fernando. Dar todas
las posibilidades.
2. Un tren viaja de A a D, con dos
paradas intermedias, primero B y después C. Cuando se detiene en B,
la cantidad de pasajeros que sube es igual a
de los pasajeros que
viajaron de A hasta B, y bajan 39 pasajeros. En la estación C,
la cantidad de pasajeros que sube es igual a
de los pasajeros que viajaron de B
hasta C, y bajan 39 pasajeros. La cantidad de pasajeros que llegaron a D
es igual a la cantidad de pasajeros que salieron de A. Hallar cuántos
pasajeros salieron de A.
3. Sea ABCD un cuadrilátero de lados AB,
BC, CD y DA tal que
,
y BC = CD. Las
diagonales AC y BD se cortan en O. Si
, calcular
.
SEGUNDO
NIVEL
1. En una reunión de 152 científicos, algunos son
matemáticos y los demás son físicos. El promedio de las edades de todos los
científicos es de 41 años. El promedio de las edades de los matemáticos es 35
años, y el promedio de las edades de los físicos es 51 años. Determinar cuántos
científicos de esta reunión son matemáticos.
2. En la expresión
* 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10
Nico reemplazó cada * por un signo + o un signo – de
modo que quedaron 5 signos de cada clase, y realizó la expresión indicada. El
resultado es un número positivo de dos dígitos que es múltiplo de 7. Determinar
qué número obtuvo Nico e indicar una posible asignación de los signos + y – con
la que se obtiene ese número.
3. Sea ABCD un cuadrado de lado AB = BC
= CD = DA = 6. Sean P en el lado BC y Q en
el lado CD tales que las rectas AP y AQ dividen al
cuadrado en tres figuras de áreas iguales.
Calcular el área del triángulo APQ.
TERCER
NIVEL
Germán escribe una lista de números naturales. El
primer número es el 1; luego escribe los múltiplos de 2, desde 2 hasta 22;
a continuación escribe los múltiplos de 3, desde 3 hasta 32; luego
los múltiplos de 4, desde 4 hasta 42, y así siguiendo hasta
escribir, por primera vez, el 2009. La lista empieza de la siguiente manera:
1, 2, 4, 3, 6, 9, 4, 8, 12, 16, 5, 10 …
Determinar cuántos números tiene la lista de
Germán.
2. Los participantes de una olimpíada compartieron un
almuerzo de camaradería, con precio fijo. Al terminar, el mozo llevó la cuenta,
que era de $1680. Dividieron entre el número de participantes, pero el dinero
no alcanzó porque 4 personas ya se habían retirado. Así que cada uno de los
presentes debió agregar $1. Calcular cuántos participantes hubo en el almuerzo.
3. Se tienen dos figuras superpuestas: el cuadrado ABCD
de lados AB = BC = CD = DA = 6 y el triángulo
isósceles ABE de base AB, con AE = BE. Se sabe que
el área de la superposición es igual a
del área del cuadrado. Calcular el
área de la porción del triángulo que no se superpone con el cuadrado.
Regional
PRIMER NIVEL
1. Una empresa maderera obtuvo un contrato para
cortar árboles de un bosque, y los ecologistas iniciaron una protesta en su
contra. Para evitar las protestas, el gerente de la empresa agregó la siguiente
cláusula al contrato:
“En el bosque, el 99% del total de árboles son pinos, y la empresa sólo cortará
pinos. Cuando se termine el contrato, el 97% del total de árboles del bosque
serán pinos.”
Determinar qué porcentaje del bosque será cortado por la empresa al cumplirse
esta cláusula del contrato.
2. En una larga tira de papel se escriben los
múltiplos de 21, comenzando con 21, sin espacios intermedios. Queda así una
secuencia de dígitos que empieza así:
21426384105126147…
Hallar la cifra que ocupa la posición 5000 de la
secuencia de dígitos y determinar a qué múltiplo de 21 pertenece. (Por ejemplo,
la cifra de la posición 15 es 1 y pertenece al 147.)
3. Sea ABC un triángulo acutángulo. Se
considera el punto D del lado AB tal que CD es
perpendicular a AB, y el punto E del lado AB tal que CE
es la bisectriz del ángulo
. Sea F el punto del lado BC
tal que
, y G el punto de
intersección de AF y CE. Si se sabe que el triángulo CFG
es equilátero, calcular los ángulos del triángulo ABC.
SEGUNDO NIVEL
1. En las casillas de un tablero de 7 filas y 287
columnas hay que escribir los números enteros positivos desde 1 hasta 2009, sin
repetir, siguiendo la siguiente regla:
En cada fila, los números están ordenados de menor a mayor, de izquierda a
derecha, pero no son necesariamente números consecutivos.
El objetivo es que la suma de los 7 números de la columna 284, contando de
izquierda a derecha, sea lo mayor posible.
Determinar el máximo valor que puede tener la suma de la columna 284 e indicar
una distribución posible de los 2009 números que permita lograr esa suma.
2. Miguel hizo la lista de todos los números
naturales tales que la multiplicación de sus dígitos es igual a 1920 y ningún
dígito es igual a 1. Calcular cuántos números tiene la lista de Miguel.
3. Sea ABC un triángulo isósceles con AB
= AC = 29 y BC = 40. Sea P en BC con BP
menor que PC. Sea D en BC tal que AD es
perpendicular a BC. La recta perpendicular a AP trazada por B
corta a la recta AD en L, y la recta perpendicular a AP
trazada por C corta a la recta AD en K. Si KL = 16,
calcular BP.
TERCER NIVEL
1. Iván hizo la lista de todas las progresiones
aritméticas de números enteros positivos tales que la diferencia es igual a 3 y
la suma de sus términos es igual a 2010. Calcular cuántas progresiones tiene la
lista de Iván.
ACLARACIÓN: Una progresión aritmética de diferencia 3 es una sucesión de
números tal que cada término se obtiene sumándole 3 al anterior.
2. Hallar todos los pares de enteros x, y
para los cuales se satisface la siguiente igualdad
.
3. Consideramos un polígono regular de 9 lados. Si
cada lado del polígono mide 5, calcular la diferencia (resta) entre las medidas
de una diagonal de longitud máxima y una diagonal de longitud mínima.
Nacional
Primer
Nivel
Problema 1
Rocío debe escribir en una línea 100 números no
necesariamente distintos, ordenados de menor a mayor, tales que la suma de los
100 números sea igual a 10 y la suma de cualesquiera 30 de estos números sea
siempre mayor o igual que 2. El objetivo de Rocío es que el número que ocupa el
lugar 96 de la lista sea lo mayor posible.
Si Rocío logra su objetivo, determinar el número de la posición 96.
Problema 2
Sea ABC un triángulo escaleno, D un
punto del interior del lado BC, E un punto del interior del lado CA
y F un punto del interior del lado AB.
a) Si
, determinar si es necesariamente
cierto que D, E y F son los puntos medios de los lados de ABC.
b) Si
, determinar si es necesariamente
cierto que D, E y F son los puntos medios de los lados de ABC.
Problema 3
Se tiene un tablero en forma de L con 111 casillas
verticales y 100 casillas horizontales (la casilla de la esquina se cuenta como
horizontal y como vertical). Inicialmente hay una moneda en cada casilla. Ariel
y Bruno retiran, por turnos, monedas del tablero. La movida legítima es elegir
una dirección (vertical u horizontal) y en esa dirección retirar tantas monedas
como se desee (por lo menos una) siempre y cuando éstas ocupen casillas
consecutivas del tablero (sin casillas vacías intermedias). Pierde el jugador
que retira la última moneda. Si Ariel es el que comienza el juego, determinar
cuál de los dos jugadores puede asegurarse la victoria y dar una estrategia
ganadora para ese jugador.
Problema 4
Varios piratas se repartieron un botín de 1000
monedas de oro, todas iguales. Resultó que uno de los piratas se quedó con más
de la mitad de las monedas. Durante la primera noche, para calmar los ánimos,
el pirata que tenía más de la mitad de las monedas le dio a cada uno de los
otros piratas tantas monedas como cada uno tenía. Sin embargo, nuevamente había
un pirata con más de la mitad del total de monedas. La segunda noche, se
repitió el procedimiento: el pirata que tenía más de la mitad de las monedas le
dio a cada uno de los otros piratas tantas monedas como cada uno tenía. Y así
noche tras noche, hasta que después de la décima noche ningún pirata tenía más
de la mitad del total de monedas. Determinar el máximo número de piratas que
pudo haber en el reparto del botín.
Problema 5
Se tiene un triángulo escaleno de papel de área 1. Demostrar que se pueden
recortar del triángulo tres polígonos convexos iguales, cada uno de área mayor
que
.
ACLARACIÓN: Un polígono es convexo si todos sus
ángulos son menores que 180º.
Problema 6
En la recta numérica se han marcado los puntos
enteros, desde 1 hasta 100 inclusive, y un grillo está parado en uno de estos
puntos. El grillo realiza 100 saltos de modo que visita cada uno de los puntos
y regresa al punto de partida con su último salto. Cada salto, a partir del
segundo, lo hace en dirección opuesta al salto anterior. La suma de las
longitudes de todos los saltos excepto los dos últimos es 4997. Hallar la suma
de las longitudes de los dos últimos saltos.
Segundo
Nivel
Problema 1
Se tienen 4 pilas de piedras con las siguientes
cantidades: 1004, 1005, 2009, 2010. Una movida legítima consiste en quitar una
piedra de cada una de tres pilas distintas. Dos jugadores A y B
juegan por turnos; A comienza el juego. Pierde el jugador que, en su
turno, no puede hacer una jugada legítima. Determinar cuál de los jugadores
tiene estrategia ganadora y dar una estrategia para ese jugador.
Problema 2
Sea ABC un triángulo tal que
y 2AC = 3BC. Sea k
la circunferencia que pasa por A y por C y es tangente a BC
en C, y sea
la circunferencia que pasa por B
y por C y es tangente a AC en C. El otro punto de
intersección de k y
es D. La recta CD
corta al lado AB en E.
Si se sabe que AD = 6, calcular AE y BE.
Problema 3
Sobre una mesa hay 88 cajas; Freddy distribuye en
las cajas, a su elección, bolitas blancas y bolitas negras, tantas como quiera
de cada color. A continuación, Miguel, que ve cuantas bolitas de cada clase hay
en cada caja, elige 28 de las cajas. Si las cajas que eligió Miguel contienen
por lo menos
del total de bolitas blancas y por
lo menos
del total de bolitas negras, gana
Miguel. En caso contrario, gana Freddy. Determinar si Freddy puede elegir las
bolitas y distribuirlas para impedir que gane Miguel.
Problema 4
Un mago le pide a un espectador que elija 60
números enteros desde 1 hasta 120 inclusive, tales que
· su suma
sea igual a la suma de los restantes números (los no elegidos);
· entre
los números elegidos no haya dos que sumen 121;
· entre
los elegidos no haya dos que difieran en 60.
A continuación, el mago le pide al espectador que calcule la suma de los 30
mayores números elegidos. Sin ver ninguno de los números que eligió el
espectador, el mago “adivina” el resultado en forma infalible. Mostrar porqué
el mago no falla y hallar el resultado de la suma que calculó el espectador.
Problema 5
Hallar el mayor entero positivo n tal que
.
ACLARACIÓN: Los corchetes denotan la parte entera
del número que encierran. Por ejemplo,
;
;
.
Problema 6
Se tiene un paralelepípedo recto de 4 ´ 5 ´ 6 dividido en 120 cubitos unitarios. Los cubitos
se colorean de gris, de a uno por vez, en orden arbitrario. En el momento en el
que se colorea cada cubito, se escribe en él la cantidad de vecinos suyos que
han sido coloreados con anterioridad. (Dos cubitos son vecinos si tienen una
cara en común.) Sea S la suma de todos los números escritos al finalizar
el proceso. Hallar los posibles valores de S.
Tercer
Nivel
Problema 1
Se han marcado 2009 puntos de una circunferencia.
Lucía los colorea con 7 colores distintos, a su elección. Luego Iván puede unir
tres puntos de un mismo color, formando de este modo triángulos monocromáticos.
Los triángulos no pueden tener puntos en común; ni siquiera vértices en común.
El objetivo de Iván es trazar la mayor cantidad
posible de triángulos monocromáticos. El objetivo de Lucía es impedir lo más
posible la tarea de Iván mediante una buena elección del coloreo. ¿Cuántos
triángulos monocromáticos obtendrá Iván si los dos hacen lo mejor posible su
tarea?
Problema 2
Diremos que un entero positivo n es aceptable
si la suma de los cuadrados de sus divisores propios es igual a 2n + 4
(un divisor de n es propio si es distinto de 1 y de n). Hallar
todos los números aceptables menores que 10000.
Problema 3
El trapecio isósceles ABCD de bases AB
y CD tiene una circunferencia k que es tangente a sus cuatro
lados. Sea T el punto de tangencia de k con el lado BC, y P
el segundo punto de intersección de AT con k. Si se sabe que
, calcular .
Problema 4
Se tienen 100 varillas iguales. Está permitido
partir cada varilla en dos o en tres varillas más cortas, no necesariamente
iguales. El objetivo es que reacomodando los trozos (y usándolos a todos) se
puedan armar q > 200 nuevas varillas, todas de igual longitud. Hallar
los valores de q para los que esto se puede hacer.
Problema 5
Alrededor de una circunferencia están escritos 2009
enteros, no necesariamente distintos, de modo que si dos números son vecinos su
diferencia es 1 o 2. Diremos que un número es grande si es mayor que sus
dos vecinos, y que es pequeño si es menor que sus dos vecinos. La suma
de todos los números grandes es igual a la suma de todos los números pequeños
más 1810. Determinar cuántos números impares puede haber alrededor de la
circunferencia.
Problema 6
Una sucesión
es tal que
y, para cada n ³ 0,
, donde m es un entero
entre 2 y 9 inclusive. Además, cada entero entre 2 y 9 inclusive se ha usado al
menos una vez para obtener
a partir de
. Sea
la suma de los dígitos de
, n = 0, 1, 2, … .
Demostrar que
para infinitos valores de n.
